![Rozwiązanie zadania 12.2, matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy: Funkcja f jest określona następująco: f(x)=cases-2x-10&dla x∈(-5,-3],\-1&dla x∈(-3,4].cases Wykres funkcji…](rozwiazanie.webp)
Inne zagadnienia
Zadanie 12.2, sierpień 2025, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\[f(x)=\begin{cases}-2x-10&\text{dla }x\in(-5,-3],\\x-1&\text{dla }x\in(-3,4].\end{cases}\]
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(1\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(2\). Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<-2\) jest przedział ... .
Odpowiedź
\(1\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4,3]\).
\(2\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)<-2\) jest przedział \((-4,-1)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja składa się z dwóch odcinków prostych; każdy rozpatrujemy osobno, a wyniki sumujemy. Z rysunku odczytujemy, które końce należą do wykresu.
**Zbiór wartości.** Na \((-5,-3]\) funkcja \(f(x)=-2x-10\) jest malejąca, więc gdy \(x\) rośnie od wartości bliskich \(-5\) do \(-3\), wartości maleją od bliskich \(-2\cdot(-5)-10=0\) do \(f(-3)=-4\). Daje to przedział \([-4,0)\).
Na \((-3,4]\) funkcja \(f(x)=x-1\) jest rosnąca i przyjmuje wartości od bliskich \(-4\) (bez tej wartości) do \(f(4)=3\). Daje to \((-4,3]\).
Suma:
\[[-4,0)\cup(-4,3]=[-4,3].\]
**Nierówność \(f(x)<-2\).** Na \((-5,-3]\): \(-2x-10<-2\), czyli \(-2x<8\), a po podzieleniu przez liczbę ujemną \(x>-4\); część wspólna z przedziałem daje \((-4,-3]\).
Na \((-3,4]\): \(x-1<-2\), czyli \(x<-1\); część wspólna daje \((-3,-1)\).
Suma:
\[(-4,-3]\cup(-3,-1)=(-4,-1).\]
**Odpowiedź.** \(1\). \([-4,3]\) \(2\). \((-4,-1)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne uzupełnienie jednego zdania z jednoznacznym domknięciem końców.
2 pkt: poprawne uzupełnienie obu zdań.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie z wykresu i wzoru zbioru wartości funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach oraz rozwiązywanie nierówności \(f(x)<a\) w każdym z tych przedziałów osobno, z jednoznacznym zapisem otwartości krańców.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
