Równania i nierówności
Zadanie 8, próbna listopad 2006, poziom podstawowy
Dany jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in\langle-6,6\rangle\).
Korzystając z wykresu funkcji, zapisz:
a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca,
b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
c) największą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-5,5\rangle\),
d) miejsca zerowe funkcji \(g(x)=f(x-1)\),
e) najmniejszą wartość funkcji \(h(x)=f(x)+2\).
Odpowiedź
a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, czego wymaga zadanie. Podpunkty a), b) i c) to czysty odczyt z wykresu, natomiast d) i e) dotyczą wykresów PRZESUNIĘTYCH: \(g(x)=f(x-1)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(1\) jednostkę w prawo, a \(h(x)=f(x)+2\) to wykres \(f\) przesunięty o \(2\) jednostki w górę. Warto zacząć od wypisania z wykresu punktów charakterystycznych.
**Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: dziedziną jest \(\langle-6,6\rangle\); wykres startuje w \((-6,2)\), opada do minimum \((-3,-4)\), rośnie do maksimum lokalnego \((0,1)\), znów opada do minimum \((3,-4)\) i rośnie aż do końca dziedziny w \(x=6\). Miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią \(Ox\)) to \(-5\), \(-1\), \(1\), \(5\).
**Krok \(3\).** Podpunkt a). Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wykres — idąc od lewej do prawej — wznosi się: od minimum \((-3,-4)\) do maksimum \((0,1)\) oraz od minimum \((3,-4)\) do końca dziedziny. Maksymalne przedziały to
\[\langle-3,0\rangle\quad\text{oraz}\quad\langle3,6\rangle.\]
**Krok \(4\).** Podpunkt b). Wartości dodatnie to te argumenty, dla których wykres leży NAD osią \(Ox\). Korzystając z miejsc zerowych i przebiegu wykresu:
\[x\in\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle.\]
(Końce dziedziny \(-6\) i \(6\) należą do zbioru, bo tam wykres jest nad osią, natomiast same miejsca zerowe nie należą, bo wartość funkcji jest tam równa \(0\).)
**Krok \(5\).** Podpunkt c). Ograniczamy się tylko do fragmentu wykresu nad przedziałem \(\langle-5,5\rangle\). Najwyżej położony punkt tego fragmentu to maksimum lokalne \((0,1)\), więc największa wartość wynosi
\[1\quad\text{(dla }x=0\text{)}.\]
**Krok \(6\).** Podpunkt d). Miejsca zerowe \(g\) to takie \(x\), dla których \(g(x)=f(x-1)=0\), czyli takie, że \(x-1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\):
\[x-1\in\{-5,-1,1,5\}.\]
**Krok \(7\).** Dodajemy \(1\) do każdej z tych liczb (to samo widać jako przesunięcie wykresu o \(1\) w prawo):
\[x\in\{-4,\,0,\,2,\,6\}.\]
**Krok \(8\).** Podpunkt e). Przesunięcie wykresu o \(2\) w górę zwiększa każdą wartość o \(2\), więc najmniejsza wartość \(h\) to najmniejsza wartość \(f\) powiększona o \(2\). Najniższe punkty wykresu \(f\) to minima \((-3,-4)\) i \((3,-4)\), więc najmniejsza wartość \(f\) jest równa \(-4\), a stąd
\[-4+2=-2.\]
**Uwaga.** W podpunkcie c) łatwo zapomnieć, że przedział \(\langle-5,5\rangle\) jest WĘŻSZY niż dziedzina \(\langle-6,6\rangle\) — patrzymy tylko na fragment wykresu nad tym przedziałem, ignorując to, co dzieje się poza nim. W podpunkcie d) uważaj na kierunek przesunięcia: \(f(x-1)\) przesuwa wykres w PRAWO (a nie w lewo), więc miejsca zerowe rosną o \(1\).
**Odpowiedź.** a) \(\langle-3,0\rangle\) oraz \(\langle3,6\rangle\). b) \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). c) \(1\). d) \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\). e) \(-2\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**8.1. (1 pkt)** – Podanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca: \(\langle-3,0\rangle\) i \(\langle 3,6\rangle\). Przyjmujemy również odpowiedzi, w których zdający podaje przedziały \((-3,0)\) i \((3,6)\) (również jednostronnie domknięte).
**8.2. (1 pkt)** – Podanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie: \(\langle-6,-5)\cup(-1,1)\cup(5,6\rangle\). Zdający może zapisać odpowiedzi w postaci nierówności.
**8.3. (1 pkt)** – Podanie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-5,5\rangle\): \(1\). Możemy przyjąć jako poprawne odpowiedzi: \(f(0)\) lub „dla \(x=0\)”.
**8.4. (1 pkt)** – Podanie miejsc zerowych funkcji \(g\): \(-4\), \(0\), \(2\), \(6\).
**8.5. (1 pkt)** – Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(h\): \(-2\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
