Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, próbna listopad 2006, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej \(x\) z przedziału \(\langle-4,-2\rangle\) połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o \(8\).
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w podanym przedziale.
Odpowiedź
a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa zadania w jednym. Najpierw trzeba przetłumaczyć opis słowny na wzór funkcji, a potem znaleźć najmniejszą wartość funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym — a to zawsze wymaga sprawdzenia, czy wierzchołek paraboli leży w tym przedziale.
**Krok \(2\).** Tłumaczymy opis. Kwadrat liczby \(x\) to \(x^2\), jego połowa to \(\frac12x^2\), a pomniejszenie o \(8\) daje \[f(x)=\frac12x^2-8,\qquad x\in\langle-4,-2\rangle.\]
**Krok \(3\).** Rozpoznajemy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=\frac12\), \(b=0\), \(c=-8\). Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo \(a\gt0\).
**Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{1}=0.\] Sprawdzamy: \(0\notin\langle-4,-2\rangle\), czyli wierzchołek leży poza rozważanym przedziałem.
**Krok \(5\).** Skoro w przedziale nie ma wierzchołka, funkcja jest tam monotoniczna. Cały przedział \(\langle-4,-2\rangle\) leży na lewo od \(x_w=0\), a na lewo od wierzchołka parabola o ramionach do góry maleje. Zatem najmniejszą wartość funkcja przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla \(x=-2\).
**Krok \(6\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(-4)=\frac12\cdot(-4)^2-8=\frac12\cdot16-8=8-8=0,\] \[f(-2)=\frac12\cdot(-2)^2-8=\frac12\cdot4-8=2-8=-6.\]
**Krok \(7\).** Porównujemy: \(-6\lt0\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\) jest \(-6\) i jest ona przyjmowana dla \(x=-2\).
**Uwaga.** Największa pułapka to odruchowe podanie wartości \(-8\), czyli drugiej współrzędnej wierzchołka. Wierzchołek \((0,-8)\) leży poza przedziałem, więc wartość \(-8\) w ogóle nie jest przez tę funkcję przyjmowana. Zawsze sprawdzaj, czy \(x_w\) należy do przedziału: jeśli tak, to tam jest ekstremum, jeśli nie — najmniejszej i największej wartości szukamy na końcach przedziału.
**Odpowiedź.** a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-8\).
**11.2. (1 pkt)** – Podanie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: \(x_{w}=0\) i \(x_{w}\notin\langle-4,-2\rangle\).
**11.3. (1 pkt)** – Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-4)=0\), \(f(-2)=-6\). Zdający może narysować wykres funkcji i na jego podstawie rozwiązać podpunkt b).
**11.4. (1 pkt)** – Sformułowanie wniosku dotyczącego wartości najmniejszej.
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
