Zadanie 5 – matura z matematyki próbna listopad 2006, poziom podstawowy

a) Szukany kąt to część wspólna półpłaszczyzn \(2x-y-3\leqslant0\) i \(2x-3y-7\leqslant0\), o wierzchołku \(P=\left(\frac12,-2\right)\). b) \(|PS|=6{,}5\).

**Krok \(1\).** Każda z podanych nierówności liniowych opisuje półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią prostą. Część wspólna dwóch takich półpłaszczyzn (przy prostych nierównoległych) to właśnie kąt, a jego wierzchołkiem jest punkt przecięcia prostych. Plan: narysować obie proste, ustalić punktem testowym, którą stronę wybieramy, a potem wyznaczyć wierzchołek z układu równań i policzyć odległość. **Krok \(2\).** Zapisujemy proste w postaci kierunkowej, żeby je narysować: \[2x-y-3=0\iff y=2x-3\qquad\text{(przechodzi przez }(0,-3)\text{ i }(2,1)),\] \[2x-3y-7=0\iff y=\frac{2x-7}{3}\qquad\text{(przechodzi przez }(2,-1)\text{ i }(5,1)).\] **Krok \(3\).** Ustalamy, które półpłaszczyzny opisują nierówności. Najprościej wstawić punkt testowy, na przykład \((0,0)\): \[2\cdot0-0-3=-3\leqslant0\quad\text{oraz}\quad2\cdot0-3\cdot0-7=-7\leqslant0.\] Obie nierówności są spełnione, więc obie półpłaszczyzny zawierają początek układu współrzędnych. Równoważnie: \(2x-y-3\leqslant0\iff y\geqslant2x-3\), a \(2x-3y-7\leqslant0\iff y\geqslant\frac{2x-7}{3}\) — czyli w obu przypadkach bierzemy obszar nad prostą, razem z brzegiem. **Krok \(4\).** Szukanym kątem (podpunkt a) jest część wspólna tych dwóch półpłaszczyzn: obszar leżący jednocześnie nad obiema prostymi, zawierający punkt \((0,0)\), z ramionami na obu prostych i wierzchołkiem w ich punkcie przecięcia. **Krok \(5\).** Podpunkt b). Wyznaczamy wierzchołek \(P\), rozwiązując układ \[\begin{cases}2x-y-3=0,\\2x-3y-7=0.\end{cases}\] Odejmujemy równania stronami — wyrazy \(2x\) się redukują: \[(-y-3)-(-3y-7)=0,\qquad 2y+4=0,\qquad y=-2.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy \(y=-2\) do pierwszego równania: \[2x-(-2)-3=0,\qquad 2x-1=0,\qquad x=\frac12.\] Zatem \(P=\left(\frac12,-2\right)\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(2\cdot\frac12-3\cdot(-2)-7=1+6-7=0\) — zgadza się. **Krok \(7\).** Liczymy odległość \(P\) od \(S=(3,-8)\): \[|PS|=\sqrt{\left(3-\frac12\right)^2+\left(-8-(-2)\right)^2}=\sqrt{\left(\frac52\right)^2+(-6)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\sqrt{\frac{25+144}{4}}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}=6{,}5.\] **Uwaga.** Przy przekształcaniu drugiej nierówności do postaci \(y\geqslant\ldots\) dzielimy przez \(-3\), więc zwrot nierówności się odwraca — dlatego bezpieczniej jest sprawdzić półpłaszczyznę punktem testowym. Nierówności są nieostre, więc oba ramiona kąta (proste) należą do zaznaczonego obszaru i rysujemy je linią ciągłą. **Odpowiedź.** a) Szukany kąt to część wspólna półpłaszczyzn \(2x-y-3\leqslant0\) i \(2x-3y-7\leqslant0\), o wierzchołku \(P=\left(\frac12,-2\right)\). b) \(|PS|=6{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – Zaznaczenie półpłaszczyzny \(2x-y-3\le 0\). **5.2. (1 pkt)** – Zaznaczenie półpłaszczyzny \(2x-3y-7\le 0\). **5.3. (1 pkt)** – Zaznaczenie szukanego kąta. Punkt przyznajemy tylko wtedy, gdy kąt jest wyraźnie zaznaczony. **5.4. (1 pkt)** – Obliczenie współrzędnych punktu \(P\): \(P=\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Dopuszczamy możliwość, że zdający odczyta z wykresu współrzędne punktu \(P\). Musi jednak sprawdzić poprawność odczytu przez podstawienie współrzędnych do obu równań. **5.5. (1 pkt)** – Obliczenie długości odcinka \(PS\): \(PS=6{,}5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.