Inne zagadnienia
Zadanie 12.1, maj 2026, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla }x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla }x\in(2,5).\end{cases}\]
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku.
Uzupełnij zdania.
\(1\). Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba ... .
\(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2,3]\) jest równa ... .
Podpowiedź
Równanie rozwiązuj osobno dla obu części definicji i za każdym razem sprawdzaj przedział.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
O przynależności rozwiązania decyduje nie tylko wzór, lecz także dziedzina danej gałęzi.
Rozwiązanie
Dla pierwszej gałęzi \(x+2=3\), więc \(x=1\), a liczba ta należy do \([-4,2]\). Druga gałąź daje \(-x+5=3\), czyli \(x=2\), lecz \(2\notin(2,5)\). Jedynym rozwiązaniem jest zatem \(x=1\). W przedziale \([2,3]\) funkcja przyjmuje w punkcie \(x=2\) wartość \(4\); na odcinku \(x>2\) wartości gałęzi \(-x+5\) są mniejsze niż \(3\). Największa wartość wynosi \(4\).
Sprawdzenie
Bezpośrednio \(f(1)=3\) oraz \(f(2)=4\), przy czym punkt \(x=2\) należy do pierwszej gałęzi.
Odpowiedź
\(1\). Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(1\).
\(2\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2,3]\) jest równa \(4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja jest opisana dwoma wzorami, więc każdy przypadek rozpatrujemy osobno i sprawdzamy, czy otrzymany argument należy do właściwego przedziału. Z rysunku odczytujemy, że wykres składa się z odcinka rosnącego na \([-4,2]\) i odcinka malejącego na \((2,5)\), a najwyższy punkt wykresu ma rzędną \(4\) i jest osiągany dla \(x=2\).
**Równanie \(f(x)=3\).** Dla \(x\in[-4,2]\): \(x+2=3\), czyli \(x=1\); liczba \(1\) należy do \([-4,2]\), więc jest rozwiązaniem.
Dla \(x\in(2,5)\): \(-x+5=3\), czyli \(x=2\); liczba \(2\) nie należy do \((2,5)\), więc odpada.
**Największa wartość na \([2,3]\).** Przedział \([2,3]\) obejmuje punkt \(x=2\) z pierwszego wzoru oraz przedział \((2,3]\) z drugiego. Mamy \(f(2)=2+2=4\), a na \((2,3]\) funkcja \(f(x)=-x+5\) maleje i przyjmuje wartości mniejsze od \(3\). Największą wartością jest zatem \(4\).
**Odpowiedź.** \(1\). \(x=1\) \(2\). \(4\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań
**1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania
**0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą wykresów i wzorów;
V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym.
![Rozwiązanie zadania 12.1 (matura z matematyki maj 2026): Funkcja f jest określona następująco: f(x)=casesx+2 & dla x∈[-4,2],\\-x+5 & dla x∈(2,5).cases Wykres funkcji…](rozwiazanie.webp)
