Zadanie 11 – matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy

Niech \(x\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wpływy przed odliczeniem kosztów wyniosły \(4665:0{,}75=6220\) zł. Mamy \(25x+35(200-x)=6220\), stąd \(x=78\). Sprzedano \(78\) biletów ulgowych.

**Krok \(1\).** adanie \(11\). (\(0\)—\(2\)) **Krok \(2\).** Wymaganie ogólne **Krok \(3\).** III. Wykorzystanie i interpretowanie **Krok \(4\).** reprezentacji. **Krok \(5\).** \(2\). Dobieranie i tworzenie modeli **Krok \(6\).** matematycznych przy rozwiązywaniu **Krok \(7\).** problemów praktycznych i teoretycznych. **Krok \(8\).** Wymaganie szczegółowe **Odpowiedź.** Niech \(x\) oznacza liczbę biletów ulgowych. Wpływy przed odliczeniem kosztów wyniosły \(4665:0{,}75=6220\) zł. Mamy \(25x+35(200-x)=6220\), stąd \(x=78\). Sprzedano \(78\) biletów ulgowych.

adanie 11. (0—2) Wymaganie ogólne III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania Wymaganie szczegółowe Zdający: IV.2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych. 2 pkt — zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78. 1 pkt — zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. x+y= 200 oraz 0,75 (35x + 25y) = 4665 ALBO — zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie, np. 4665 35(200 - y) + 25y = 0,75 ALBO — zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, np. 4665 35x + 25(200 - x) = ALBO — zapisanie różnicy ALBO — zapisanie różnicy ALBO — zapisanie różnicy 0,75 4665 — 25 • 200 oraz zapisanie różnicy 35 — 0,75 4665 35 200 - oraz zapisanie różnicy 35 — 0,75 4665 25, 25, — (25 • 100 + 35 • 100) oraz zapisanie różnicy 35 — 25. 0,75 0 pkt — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb x oraz y i wskaże właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. CENTRALNA Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Oznaczmy: x — liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie, y — liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie. Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy: x+y= 200 oraz 0,75 (35x +25y) = 4665 Z pierwszego z tych równań wyznaczamy x = 200 — y i podstawiamy w miejsce x do drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy: 0,75 [35(200 - y) +25y] = 4665 /: 0,75 35(200 - y) + 25y = 6220 7000 - 35y + 25y = 6220 -10y = -780 Y = 78 Na przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych. Sposób II Przychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy: 4665 = 6220 0,75 Gdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód w wysokości 35 • 200 = 7000 złotych, a więc 0 7000 — 6220 = 780 złotych więcej niż w rzeczywistości. Bilet normalny kosztuje 0 10 złotych więcej niż bilet ulgowy. Zatem organizatorzy sprzedali 780 : 10 = 78 biletów ulgowych. Uwaga. Metodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji liczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy sprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód w wysokości 30 35 + 170 25 = 5300 złotych, a więco 6220 - 5300 = 920 złotych mniej niż w rzeczywistości. Bilet normalny kosztuje 0 10 złotych więcej niż bilet ulgowy. Zatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali 0 920 : 10 = 92 bilety ulgowe mniej — a więc sprzedali 170 — 92 = 78 biletów ulgowych

**Wymaganie ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymaganie szczegółowe:** IV.2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.