Inne zagadnienia
Zadanie 12.2, maj 2026, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\[f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla }x\in[-4,2],\\-x+5 & \text{dla }x\in(2,5).\end{cases}\]
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\) oraz zbiór wszystkich argumentów, dla których \(f(x)>1\).
Podpowiedź
Wyznacz zakres wartości i rozwiązanie nierówności osobno na każdej gałęzi, a następnie połącz wyniki.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Pierwsza gałąź dostarcza cały zbiór wartości; druga nie wychodzi poza ten przedział.
Rozwiązanie
Na przedziale \([-4,2]\) funkcja \(x+2\) przyjmuje wszystkie wartości od \(-2\) do \(4\), więc zbiorem wartości całej funkcji jest \([-2,4]\). Dla pierwszej gałęzi \[x+2>1\iff x>-1,\] co daje \(x\in(-1,2]\). Dla drugiej gałęzi \[-x+5>1\iff x<4,\] a po uwzględnieniu \(x\in(2,5)\) otrzymujemy \(x\in(2,4)\). Łącznie \(f(x)>1\) dla \(x\in(-1,4)\).
Sprawdzenie
Punkty brzegowe odpadają, ponieważ \(f(-1)=1\) i \(f(4)=1\), a nierówność jest ostra.
Odpowiedź
\(1\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-2,4]\).
\(2\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których \(f(x)>1\), jest przedział \((-1,4)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja jest złożona z dwóch odcinków prostych, więc każdy z nich rozpatrujemy osobno, a wyniki łączymy. Z rysunku odczytujemy, które końce należą do wykresu (kropka zamalowana), a które nie (kropka pusta).
**Zbiór wartości.** Na przedziale \([-4,2]\) funkcja \(f(x)=x+2\) jest rosnąca, więc przyjmuje wartości od \(f(-4)=-2\) do \(f(2)=4\), oba końce włącznie: \([-2,4]\).
Na przedziale \((2,5)\) funkcja \(f(x)=-x+5\) jest malejąca i przyjmuje wartości między \(-5+5=0\) a \(-2+5=3\), bez końców: \((0,3)\).
Suma tych zbiorów to
\[[-2,4]\cup(0,3)=[-2,4].\]
**Nierówność \(f(x)>1\).** Na \([-4,2]\): \(x+2>1\), czyli \(x>-1\); część wspólna z przedziałem daje \((-1,2]\).
Na \((2,5)\): \(-x+5>1\), czyli \(x<4\); część wspólna daje \((2,4)\).
Suma:
\[(-1,2]\cup(2,4)=(-1,4).\]
**Odpowiedź.** \(1\). \([-2,4]\) \(2\). \((-1,4)\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań
**1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania
**0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów
**Uwaga CKE:** uzupełnienie zdania uznaje się za poprawne tylko wtedy, gdy zapisane krańce przedziału są poprawne i można jednoznacznie ustalić, czy przedział jest otwarty, czy domknięty.
**Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** pomylenie porządku liczb na osi przy zachowaniu poprawnych krańców, na przykład zapis \([4,-2]\), daje \(1\) punkt za tak uzupełnione zdanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji zbiór wartości oraz przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby;
I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.
![Rozwiązanie zadania 12.2 (matura z matematyki maj 2026): Funkcja f jest określona następująco: f(x)=casesx+2 & dla x∈[-4,2],\\-x+5 & dla x∈(2,5).cases Wyznacz zbiór…](rozwiazanie.webp)
