![Rozwiązanie zadania 11, matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy: Funkcja f jest określona następująco: f(x)=casesx+5&dla x∈[-4,-2],\\3&dla x∈(-2,2],\\-3x+9&dla x∈(2,4).cases…](rozwiazanie.webp)
Inne zagadnienia
Zadanie 11, maj 2025, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\[f(x)=\begin{cases}x+5&\text{dla }x\in[-4,-2],\\3&\text{dla }x\in(-2,2],\\-3x+9&\text{dla }x\in(2,4).\end{cases}\]
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(2\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(3\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ... .
\(4\). Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział ... .
Odpowiedź
\(1\). \(D_f=[-4,4)\) \(2\). \(W_f=(-3,3]\) \(3\). \(\{x:f(x)>0\}=[-4,3)\) \(4\). \(\{x:f(x)=3\}=[-2,2]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja jest opisana trzema wzorami; każdy z nich rozpatrujemy na swoim przedziale, a wyniki sumujemy. Z rysunku odczytujemy, które końce odcinków należą do wykresu.
**Dziedzina.** Suma przedziałów z definicji:
\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4)=[-4,4).\]
**Zbiór wartości.** Na \([-4,-2]\) funkcja \(f(x)=x+5\) rośnie od \(f(-4)=1\) do \(f(-2)=3\), czyli daje \([1,3]\). Na \((-2,2]\) jest stała i równa \(3\). Na \((2,4)\) funkcja \(f(x)=-3x+9\) maleje od wartości bliskich \(3\) do wartości bliskich \(-3\), przy czym żaden z tych krańców nie jest osiągany, czyli daje \((-3,3)\). Suma:
\[[1,3]\cup\{3\}\cup(-3,3)=(-3,3].\]
**Wartości dodatnie.** Na \([-4,-2]\) mamy \(f(x)\geq1>0\) — cały przedział. Na \((-2,2]\) wartość \(3>0\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9>0\iff x<3\), czyli \((2,3)\). Suma:
\[[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,3)=[-4,3).\]
**Równanie \(f(x)=3\).** Na \([-4,-2]\): \(x+5=3\), czyli \(x=-2\), i liczba ta należy do przedziału. Na \((-2,2]\) funkcja jest stale równa \(3\) — cały przedział. Na \((2,4)\): \(-3x+9=3\), czyli \(x=2\), ale \(2\notin(2,4)\). Suma:
\[\{-2\}\cup(-2,2]=[-2,2].\]
**Odpowiedź.** \(1\). \([-4,4)\) \(2\). \((-3,3]\) \(3\). \([-4,3)\) \(4\). \([-2,2]\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne uzupełnienie czterech zdań
**3 pkt** – poprawne uzupełnienie trzech zdań
**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań
**1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania
**0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów
**Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** pomylenie porządku liczb na osi przy zachowaniu poprawnych krańców, na przykład zapis \((4,-4]\) zamiast \([-4,4)\), daje \(1\) punkt za tak uzupełnione zdanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub mniejsze od danej liczby, oraz wartości największe i najmniejsze w danym przedziale domkniętym;
I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.
