Nierówności
Zadanie 2, maj 2003, poziom podstawowy
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\).
a) Podaj miejsca zerowe funkcji \(f\).
b) Podaj rozwiązania nierówności
\[f(x)\leqslant0.\]
c) Podaj rozwiązania równania
\[f(x)=3.\]
Odpowiedź
a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) oraz \(x=5\). b) \(f(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W tym zadaniu nie znamy wzoru funkcji \(f\) i wcale nie musimy go szukać — wszystkie trzy odpowiedzi odczytujemy z wykresu. Trzeba tylko wiedzieć, jak każde pytanie wygląda na rysunku: miejsca zerowe to odcięte punktów przecięcia wykresu z osią \(Ox\), nierówność \(f(x)\leqslant0\) opisuje te fragmenty wykresu, które leżą pod osią \(Ox\) lub na niej, a równanie \(f(x)=3\) to punkty wspólne wykresu z poziomą prostą \(y=3\).
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Patrzymy, w których punktach parabola przebija oś \(Ox\). Dzieje się to dla odciętych \(-1\) oraz \(5\), więc miejsca zerowe funkcji to \(x=-1\) i \(x=5\).
**Krok \(3\).** Podpunkt b). Zauważamy kształt wykresu: ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek leży nad osią \(Ox\). Wynika stąd, że między miejscami zerowymi wykres biegnie nad osią (wartości dodatnie), a na zewnątrz miejsc zerowych — pod osią (wartości ujemne).
**Krok \(4\).** Szukamy argumentów, dla których wykres jest pod osią albo jej dotyka. To wszystkie \(x\) na lewo od \(-1\) i na prawo od \(5\), razem z samymi miejscami zerowymi, bo nierówność jest nieostra:
\[x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty).\]
**Krok \(5\).** Podpunkt c). Prowadzimy poziomą prostą \(y=3\) i odczytujemy odcięte jej punktów wspólnych z parabolą. Są to \(x=0\) oraz \(x=4\).
**Krok \(6\).** Odczyt z rysunku zawsze warto skontrolować rachunkiem. Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka o końcach w miejscach zerowych, czyli przez \(x=\frac{-1+5}{2}=2\). Punkty \(0\) i \(4\) leżą w tej samej odległości \(2\) od osi symetrii, a więc naprawdę mają tę samą wartość funkcji — odczyt jest spójny.
**Uwaga.** W podpunkcie b) nierówność jest nieostra (\(\leqslant\)), więc miejsca zerowe \(-1\) i \(5\) należą do zbioru rozwiązań — końce przedziałów muszą być domknięte. Gdyby w treści było \(f(x)\lt0\), końce trzeba by wyłączyć.
**Odpowiedź.** a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) i \(x=5\). b) \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(x=-1\), \(x=5\)
**2. (1 pkt)** – wykonanie polecenia b). Odp. \(x\in(-\infty,\,-1\rangle\cup\langle 5,\,+\infty)\)
**3. (2 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. \(x=0\) lub \(x=4\). Za każde z rozwiązań równania – \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
