Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, maj 2003, poziom podstawowy
Lewa strona równania
\[1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2n}+\ldots=3\]
jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie \(x^2\). Z warunku zbieżności mamy \(x^2<1\). Zatem dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\).
Równanie można zapisać w postaci
\[1+x^2(1+x^2+x^4+\ldots)=3.\]
Stąd \(1+3x^2=3\). Pierwiastkami ostatniego równania są liczby
\[x_1=-\frac{\sqrt6}{3},\qquad x_2=\frac{\sqrt6}{3},\]
należące do dziedziny.
**Odpowiedź:** Rozwiązaniami równania są liczby \(x_1=-\frac{\sqrt6}{3}\), \(x_2=\frac{\sqrt6}{3}\).
Postępując w analogiczny sposób, rozwiąż równanie
\[1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2.\]
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
W tym miejscu arkusza powinno stać polecenie, a ekstrakcja wciągnęła zamiast niego model odpowiedzi CKE. Prawdopodobne polecenie: **Rozwiąż równanie** \[1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2n}+\ldots=3.\] Powyższy tekst jest gotowym rozwiązaniem tego równania i podaje wynik \(x=-\frac{\sqrt6}{3}\) lub \(x=\frac{\sqrt6}{3}\) — kto chce rozwiązać zadanie samodzielnie, powinien pominąć wszystko poza samym równaniem.
Równanie występuje w zapisie zastanym dosłownie, w pierwszym zdaniu. Reszta tekstu ma budowę modelu odpowiedzi CKE (kolejno: rozpoznanie szeregu, warunek zbieżności, wyznaczenie dziedziny, przekształcenie, pierwiastki, akapit zaczynający się od słowa Odpowiedź), a nie polecenia. Punktacja 4 pkt odpowiada zadaniu otwartemu z pełnym rozwiązaniem. Sprawdzenie rachunku potwierdza podany wynik: suma szeregu o ilorazie x kwadrat wynosi 1 przez 1 minus x kwadrat, więc z równania 1 minus x kwadrat równa się jedna trzecia, skąd x kwadrat równa się dwie trzecie.Odpowiedź
Dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\); jedynym rozwiązaniem jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po lewej stronie równania \(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2\) stoi suma nieskończenie wielu wyrazów, z których każdy powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \(x\). To jest szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1=1\) i ilorazie \(q=x\). Dla takich zadań schemat jest zawsze ten sam: najpierw dziedzina z warunku zbieżności, potem wzór na sumę.
**Krok \(2\).** Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\). Tutaj \(q=x\), więc musi być \(|x|\lt 1\), czyli
\[x\in(-1,1).\]
To jest dziedzina naszego równania.
**Krok \(3\).** Postępujemy tak jak w przykładzie z treści zadania. Z sumy wyłączamy pierwszy wyraz, a z reszty wyłączamy przed nawias \(x\):
\[1+x+x^2+x^3+\ldots=1+x\left(1+x+x^2+\ldots\right)=2.\]
**Krok \(4\).** Zauważmy, że w nawiasie stoi dokładnie ta sama suma, która z założenia jest równa \(2\). Możemy więc w miejsce nawiasu wstawić liczbę \(2\):
\[1+x\cdot 2=2.\]
**Krok \(5\).** Rozwiązujemy to proste równanie liniowe:
\[2x=1,\qquad x=\frac{1}{2}.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny: \(\frac12\in(-1,1)\), więc jest to rozwiązanie. Kontrolnie można też skorzystać ze wzoru na sumę \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-x}\): równanie \(\dfrac{1}{1-x}=2\) daje \(1-x=\dfrac12\), czyli \(x=\dfrac12\).
**Uwaga.** Dziedziny nie wolno tu pominąć. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego obowiązuje wyłącznie dla \(|q|\lt 1\); gdyby otrzymana liczba wypadła poza przedziałem \((-1,1)\), trzeba by ją odrzucić, bo wtedy lewa strona w ogóle nie ma sumy.
**Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((-1,1)\), a jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \((-1,1)\). Dopuszczamy zapis \(\lvert x\rvert<1\)
**2. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+x(1+x+x^{2}+\ldots)=2\)
**3. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+2x=2\)
**4. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązania równania. Odp. \(x=0{,}5\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
