Funkcje
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^6-2x^4-x^3+1\]
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Wykaż, że liczba \(5\) należy do zbioru wartości tej funkcji.
Odpowiedź
Liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(f\) jest wielomianowa, więc jest ciągła na \(\mathbb{R}\). Obliczamy
\[f(0)=1<5,\qquad f(2)=64-32-8+1=25>5.\]
Z własności Darboux funkcja \(f\) przyjmuje w przedziale \((0,2)\) każdą wartość pośrednią między \(1\) a \(25\). Istnieje więc \(x_0\in(0,2)\), dla którego \(f(x_0)=5\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – uzasadnienie ciągłości oraz wskazanie i obliczenie wartości funkcji mniejszej i większej od \(5\)
**1 pkt** – uzasadnienie ciągłości i wyznaczenie jednej odpowiedniej wartości albo wyznaczenie obu wartości po przeciwnych stronach \(5\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.2 R) Zdający stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.
