Ciąg geometryczny
Zadanie 13, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq1\), jest spełniony warunek
\[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{29}{25}.\]
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek:
\[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\]
Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\).
Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę:
\[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\]
Podstawiamy \(q=\frac25\):
\[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\]
Wzór ogólny ma zatem postać
\[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\]
**Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**3 pkt** – obliczenie ilorazu oraz zapisanie równania \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\)
**2 pkt** – zapisanie dwóch równań pozwalających obliczyć \(q\) i \(a_1\) albo poprawne obliczenie \(q\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(q^2+1=\frac{29}{25}\) albo \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.2 R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
