Logarytmy
Zadanie 11, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac12}x\]
dla każdego \(x>0\).
Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału \(\left[\frac12,4\right]\).
Odpowiedź
Funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \(\left[\frac12,4\right]\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(f\) jest ciągła na \(\left[\frac12,4\right]\), ponieważ jest tam sumą funkcji ciągłych. Na końcach przedziału:
\[f\left(\frac12\right)=\frac{-2}{\frac52}+4\log_{\frac12}\frac12=-\frac45+4=\frac{16}{5}>0,\]
\[f(4)=\frac{5}{6}+4\log_{\frac12}4=\frac56-8=-\frac{43}{6}<0.\]
Wartości na końcach mają przeciwne znaki. Z własności Darboux istnieje więc \(x_0\in\left(\frac12,4\right)\), dla którego \(f(x_0)=0\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – wykazanie, że \(f(\frac12)>0\) oraz \(f(4)<0\), i uzasadnienie ciągłości funkcji
**1 pkt** – poprawne obliczenie wartości funkcji na obu końcach przedziału
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.2 R) Zdający stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.
