Równania i nierówności
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\left(3-2\cos x\right)^2=8\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-8\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)+12\]
w zbiorze \((0,\pi)\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[x=\frac{2\pi}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\). Prawa strona równania jest równa \(-8\cos x+12\), zatem
\[9-12\cos x+4\cos^2x=-8\cos x+12,\]
\[4\cos^2x-4\cos x-3=0.\]
Stąd \(\cos x=-\frac12\) lub \(\cos x=\frac32\). Druga wartość jest niemożliwa. W przedziale \((0,\pi)\) równanie \(\cos x=-\frac12\) ma rozwiązanie
\[x=\frac{2\pi}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**2 pkt** – rozwiązanie równania \(4\cos^2x-4\cos x-3=0\)
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja - dostrzeganie regularności i formułowanie wniosków.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.6 R) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.
