Liczby rzeczywiste
Zadanie 12, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^4+0{,}5(2x+1)^4\]
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(\frac1{54}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną:
\[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\]
Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), ponieważ jego wyróżnik wynosi \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem w tym punkcie funkcja osiąga minimum globalne.
\[f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**3 pkt** – uzasadnienie, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\)
**2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie pochodnej funkcji
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4 R) Zdający oblicza pochodne, w tym pochodną funkcji złożonej.
XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności.
XIII.6 R) Rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
