Potęgi i pierwiastki
Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) są wierzchołkami kwadratu o boku długości \(300\) km. Sieć dróg między miastami ma łączyć każde dwa z tych miast, mieć dwa węzły, a łączna długość jej dróg ma być możliwie najmniejsza (zobacz rysunek).
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane jej węzły. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\) km. Węzły leżą na symetralnych przeciwległych boków i są oddalone o \(100\sqrt3\) km od każdej z dwóch sąsiednich miejscowości.
Rozwiązanie krok po kroku
Węzły minimalnej sieci można umieścić na symetralnych boków \(AD\) i \(BC\). Niech ich odległości od tych boków wynoszą \(x\) i \(y\). Długość sieci ma postać
\[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\]
Dla \(f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x\) mamy
\[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\]
Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\); analogicznie \(y=50\sqrt3\). Wtedy \(f(50\sqrt3)=150\sqrt3\), więc
\[d_{\min}=300\sqrt3+300=300(1+\sqrt3)\text{ km}.\]
Każdy węzeł jest oddalony od dwóch sąsiednich miast o \(100\sqrt3\) km.
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – długość najkrótszej sieci i poprawna lokalizacja węzłów.
**5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci.
**4 pkt** – obliczenie minimum funkcji \(f\).
**3 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(f'\).
**2 pkt** – zapisanie długości sieci w zależności od \(x\) i \(y\).
**1 pkt** – uzasadnienie położenia węzłów na symetralnych.
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej;
5R) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
