Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{3x}{x+1}\]
dla każdego \(x\in(-1,+\infty)\).
**Wykaż, że \(f\) jest funkcją rosnącą.**
Odpowiedź
Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \((-1,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(f\) jest różniczkowalna w przedziale \((-1,+\infty)\). Dla każdego \(x\) z tego przedziału
\[f'(x)=\frac{3(x+1)-3x}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}>0.\]
Pochodna funkcji \(f\) jest dodatnia w całej jej dziedzinie, zatem \(f\) jest funkcją rosnącą w przedziale \((-1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – poprawne określenie znaku różnicy \(f(x_2)-f(x_1)=\frac{3(x_2-x_1)}{(x_2+1)(x_1+1)}>0\), pochodnej \(f'(x)=\frac3{(x+1)^2}>0\) albo równoważne uzasadnienie monotoniczności po przekształceniu \(f(x)=3-\frac3{x+1}\)
**1 pkt** – przyjęcie właściwych założeń i obliczenie odpowiedniej różnicy lub pochodnej albo zapisanie \(f(x)=3-\frac3{x+1}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
V.3 R) Zdający dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem.
XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.
