Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
**Oblicz granicę**
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}.\]
Odpowiedź
\(7\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla każdego \(n\in\mathbb N\) zachodzi
\[7^n\le 6^n+7^n\le 2\cdot7^n.\]
Po wyciągnięciu pierwiastka stopnia \(n\) otrzymujemy
\[7\le\sqrt[n]{6^n+7^n}\le7\sqrt[n]{2}.\]
Ponieważ
\[\lim_{n\to\infty}7=7\qquad\text{oraz}\qquad\lim_{n\to\infty}7\sqrt[n]{2}=7,\]
to z twierdzenia o trzech ciągach
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}=7.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – prawidłowe zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach i wynik \(7\)
**1 pkt** – zauważenie, że \(7^n\le6^n+7^n\le2\cdot7^n\), oraz obliczenie granic ciągów ograniczających
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1R obliczanie granic ciągów z wykorzystaniem znanych granic oraz twierdzenia o trzech ciągach.
![Rozwiązanie zadania 8 (zbiór zadań z informatora CKE 2023): Oblicz granicę ∞[n]6^n+7^n.](rozwiazanie.webp)
