Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\]
dla każdego \(x\in\mathbb R\).
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\).**
Odpowiedź
\(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Warunki konieczne i dostateczne są następujące: \(p\ne0\), \(\Delta>0\) oraz \(|x_1-x_2|=1\). Dla trójmianu z zadania
\[\Delta=(p-1)^2-4p(1-2p)=(3p-1)^2,\]
zatem \(\Delta>0\) dla \(p\in(-\infty,\frac13)\cup(\frac13,+\infty)\). Ze wzorów Viète'a i warunku różnicy pierwiastków otrzymujemy
\[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1,\]
czyli
\[\left(-\frac{p-1}{p}\right)^2-4\frac{1-2p}{p}=1.\]
Po uproszczeniu
\[8p^2-6p+1=0,\]
stąd \(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\). Obie wartości spełniają pozostałe warunki.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zapisanie wszystkich wartości \(p\), dla których funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\)
**3 pkt** – zapisanie i rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) oraz zapisanie i rozwiązanie warunku \(|x_1-x_2|=1\) w zależności od \(p\)
**2 pkt** – zapisanie i rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) albo zapisanie i rozwiązanie warunku \(|x_1-x_2|=1\)
**1 pkt** – wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych, aby funkcja \(f\) miała dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
III.3R i III.5R stosowanie wzorów Viète'a oraz analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrami.
