Logarytmy
Zadanie 11, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{2x-3}{x+2}+4\log_{\frac12}x\]
dla wszystkich \(x>0\).
**Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału \([\frac12,4]\).**
Odpowiedź
Funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \([\frac12,4]\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału:
\[f\!\left(\frac12\right)=\frac{1-3}{\frac12+2}+4\log_{\frac12}\frac12=-\frac45+4=\frac{16}{5}>0,\]
\[f(4)=\frac{8-3}{4+2}+4\log_{\frac12}4=\frac56-8=-\frac{43}{6}<0.\]
Funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \([\frac12,4]\), ponieważ jest sumą funkcji ciągłych w tym przedziale. Z własności Darboux istnieje więc takie \(x_0\in(\frac12,4)\), że \(f(x_0)=0\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – zauważenie, że \(f(\frac12)>0\) i \(f(4)<0\), oraz uzasadnienie ciągłości funkcji \(f\)
**1 pkt** – obliczenie wartości funkcji na przykład na końcach przedziału \([\frac12,4]\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.
