Liczby rzeczywiste
Zadanie 12, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^4+0{,}5(2x+1)^4\]
dla każdego \(x\in\mathbb R\).
**Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).**
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac1{54}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną:
\[f'(x)=4x^3+4(2x+1)^3=4(3x+1)(3x^2+3x+1).\]
Trójmian \(3x^2+3x+1\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb R\), ponieważ jego wyróżnik jest równy \(-3\). Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest więc \(x=-\frac13\). Pochodna jest ujemna dla \(x<-\frac13\) i dodatnia dla \(x>-\frac13\), zatem funkcja osiąga w tym punkcie minimum globalne. Jego wartość wynosi
\[f\!\left(-\frac13\right)=\left(-\frac13\right)^4+\frac12\left(2\cdot-\frac13+1\right)^4=\frac1{81}+\frac1{162}=\frac1{54}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\), równej \(\frac1{54}\)
**3 pkt** – uzasadnienie, na przykład przez badanie monotoniczności, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla \(x=-\frac13\)
**2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(f\)
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(f\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
CKE dopuszcza również rozwiązanie za pomocą nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną albo przez odpowiednie przekształcenie algebraiczne.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnej funkcji złożonej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.
