Liczby rzeczywiste
Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Cztery miasta \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku \(300\,\mathrm{km}\). Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na rysunku.
**Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.**
Odpowiedź
Najkrótsza sieć ma długość \(300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}\). Węzły leżą na wspólnej osi symetrii kwadratu: każdy w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku oraz \(100\sqrt3\,\mathrm{km}\) od dwóch sąsiednich miast.
Rozwiązanie krok po kroku
Symetryzacja pokazuje, że lewy węzeł \(K\) musi leżeć na symetralnej odcinka \(AD\), a prawy węzeł \(L\) na symetralnej odcinka \(BC\). Niech \(x\) i \(y\) oznaczają ich odległości odpowiednio od prostych \(AD\) i \(BC\). Długość sieci jest równa
\[d=2\sqrt{150^2+x^2}+2\sqrt{150^2+y^2}+300-x-y.\]
Wprowadzamy
\[f(x)=2\sqrt{150^2+x^2}-x.\]
Wtedy
\[f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{150^2+x^2}}-1.\]
Równanie \(f'(x)=0\) daje \(x=50\sqrt3\). Funkcja maleje przed tym punktem i rośnie po nim, więc przyjmuje tam minimum równe \(150\sqrt3\). Analogicznie \(y=50\sqrt3\). Zatem
\[d_{\min}=f(x)+f(y)+300=300(1+\sqrt3)\,\mathrm{km}.\]
Każdy węzeł leży na poziomej osi symetrii kwadratu, w odległości \(50\sqrt3\,\mathrm{km}\) od odpowiedniego pionowego boku. Jego odległość od obu przyległych miast wynosi
\[\sqrt{150^2+(50\sqrt3)^2}=100\sqrt3\,\mathrm{km}.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów względem miast
**5 pkt** – obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami
**4 pkt** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\)
**3 pkt** – obliczenie pochodnej funkcji \(f\)
**2 pkt** – wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych \(AD\) i \(BC\)
**1 pkt** – uzasadnienie, że węzły muszą znajdować się na symetralnych odcinków \(AD\) i \(BC\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.4R-XIII.6R obliczanie pochodnych, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
