Funkcje
Zadanie 56, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Oblicz miejsca zerowe funkcji
\[f(x)=\begin{cases}2x+1 & \text{dla }x\leqslant0,\\x+2 & \text{dla }x>0.\end{cases}\]
Odpowiedź
\(x=-\frac{1}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Funkcja jest opisana dwoma różnymi wzorami, z których każdy obowiązuje tylko na swoim przedziale. Miejsc zerowych szukamy więc osobno w każdym kawałku, a znalezioną liczbę za każdym razem sprawdzamy: czy naprawdę należy do przedziału, dla którego użyty wzór obowiązuje.
**Krok \(2\).** Bierzemy pierwszy wzór, ważny dla \(x\leqslant0\), i przyrównujemy go do zera:
\[2x+1=0.\]
**Krok \(3\).** Rozwiązujemy:
\[2x=-1,\qquad x=-\frac12.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy warunek przedziału: czy \(-\frac12\leqslant0\)? Tak, liczba \(-\frac12\) jest ujemna. Zatem \(-\frac12\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).
**Krok \(5\).** Bierzemy drugi wzór, ważny dla \(x\gt0\), i również przyrównujemy do zera:
\[x+2=0,\qquad x=-2.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy warunek przedziału: czy \(-2\gt0\)? Nie. Dla \(x=-2\) obowiązuje pierwszy wzór, a nie drugi, więc tę liczbę odrzucamy.
**Krok \(7\).** Dla pewności liczymy prawdziwą wartość funkcji w punkcie \(-2\), korzystając z właściwego wzoru:
\[f(-2)=2\cdot(-2)+1=-3\neq0.\]
Potwierdza to, że \(-2\) nie jest miejscem zerowym.
**Uwaga.** Najczęstszy błąd w zadaniach z funkcją daną kilkoma wzorami to przyjęcie obu wyników bez sprawdzenia przedziałów. Liczba wyznaczona z danego wzoru jest miejscem zerowym tylko wtedy, gdy leży w przedziale, na którym ten wzór obowiązuje.
**Odpowiedź.** \(x=-\frac12\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(x=-\frac{1}{2}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.
