Nierówności
Zadanie 54, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Rozwiąż równanie
\[2x^3-x^2-6x+3=0.\]
Odpowiedź
\(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Lewa strona rozkłada się na czynniki przez grupowanie:
\[2x^3-x^2-6x+3=x^2(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(x^2-3).\]
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników:
\[2x-1=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0,\]
czyli \(x=\frac12\) albo \(x=-\sqrt3\), albo \(x=\sqrt3\).
Sprawdzenie dla \(x=\sqrt3\): \(2\cdot3\sqrt3-3-6\sqrt3+3=6\sqrt3-6\sqrt3=0\).
**Odpowiedź.** \(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(x=\frac12\) lub \(x=-\sqrt3\), lub \(x=\sqrt3\).
Uwaga redakcyjna: w zastanym zapisie pierwiastki podano jako \(3\) i \(-3\) — ekstrakcja PDF zgubiła symbol \(\sqrt{\ }\). Liczba \(3\) nie spełnia równania, bo \(2\cdot27-9-18+3=30\neq0\).
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
