Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 59, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\) i \(V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).
Odpowiedź
\[a=1,\qquad b=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy wielomian \(V\) na czynniki: wyłączamy \(x\) przed nawias i stosujemy wzór na kwadrat sumy:
\[V(x)=x^{3}+2x^{2}+x=x\left(x^{2}+2x+1\right)=x(x+1)^{2}.\]
Wielomiany \(W\) i \(V\) są równe, gdy mają identyczną postać:
\[ax(x+b)^{2}=x(x+1)^{2}.\]
Porównanie współczynnika przy najwyższej potędze daje \(a=1\), a porównanie miejsc zerowych (podwójny pierwiastek \(-b\) musi być równy \(-1\)) daje \(b=1\).
Sprawdzenie: \(1\cdot x(x+1)^{2}=x^{3}+2x^{2}+x=V(x)\).
**Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=1\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(a=1\), \(b=1\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
