Funkcje
Zadanie 12, sierpień 2023, poziom podstawowy
Funkcja \(f(x)=\frac{(x-k)}{(x^{2}+1)}\) spełnia warunek \(f(1)=2\). Wartość współczynnika k jest równa
A. −\(3\)
B. \(3\)
C. −\(4\)
D. \(4\)
Odpowiedź
**A.** \(-3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Warunek \(f(1)=2\) to instrukcja: podstaw \(x=1\) do wzoru funkcji i przyrównaj otrzymane wyrażenie do \(2\). Powstanie zwykłe równanie z jedną niewiadomą \(k\).
**Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=1\) do \(f(x)=\frac{x-k}{x^{2}+1}\). Mianownik:
\[1^{2}+1=2,\]
licznik: \(1-k\). Zatem
\[f(1)=\frac{1-k}{2}.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z treści:
\[\frac{1-k}{2}=2.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(2\):
\[1-k=4.\]
**Krok \(5\).** Wyznaczamy \(k\):
\[-k=4-1=3,\qquad k=-3.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(k=-3\) mamy \(f(1)=\frac{1-(-3)}{2}=\frac{4}{2}=2\). Zgadza się z treścią.
**Uwaga.** Mianownik po podstawieniu \(x=1\) wynosi \(2\), a nie \(1\) — pominięcie tego daje \(k=-1\). Uważajmy też na podwójny minus przy wyznaczaniu \(k\) z równania \(-k=3\).
**Odpowiedź.** A: \(-3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12. (0–1)
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.
