Funkcja liniowa
Zadanie 13.1, maj 2026, poziom podstawowy
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
\(1\). Współczynnik \(a\) jest dodatni.
\(2\). Współczynnik \(b\) jest dodatni.
Podpowiedź
Znak \(a\) odczytaj z kierunku wykresu, a znak \(b\) z punktu przecięcia z osią \(Oy\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Malejąca prosta ma ujemne nachylenie, natomiast \(b=f(0)\).
Rozwiązanie
Wykres opada wraz ze wzrostem \(x\), zatem współczynnik kierunkowy spełnia \(a<0\). Przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu, więc \(b=f(0)<0\). Oba stwierdzenia, że odpowiedni współczynnik jest dodatni, są fałszywe.
Sprawdzenie
Znaki \(a<0\) i \(b<0\) są zgodne zarówno z kierunkiem prostej, jak i położeniem jej przecięcia z osią \(Oy\).
Odpowiedź
**F, F.** Wykres jest malejący, więc \(a<0\), i przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu, więc \(b<0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oba stwierdzenia rozstrzygamy, odczytując z rysunku położenie prostej.
\(1\). Wykres opada od lewej ku prawej, więc funkcja \(f\) jest malejąca, a to znaczy, że współczynnik kierunkowy jest ujemny: \(a<0\). Potwierdza to zaznaczony kąt \(\alpha\) — jest rozwarty, a \(\operatorname{tg}\alpha=a<0\). Stwierdzenie „\(a\) jest liczbą dodatnią” jest więc **fałszywe**.
\(2\). Współczynnik \(b\) jest rzędną punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\), bo \(f(0)=b\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), czyli poniżej początku układu współrzędnych. Zatem \(b=-3<0\) i drugie stwierdzenie również jest **fałszywe**.
**Odpowiedź.** \(1\). F, \(2\). F
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.
