Zadanie 6 – matura z matematyki zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony

Teza wynika z zapisu \(W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\), czyli sumy dwóch składników nieujemnych, które nie zerują się jednocześnie, więc \(W(x)>0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ dowodu: mamy wykazać, że wielomian NIE MA pierwiastków rzeczywistych, czyli że \(W(x)\neq0\) dla każdego \(x\). Wielomian jest stopnia czwartego, więc nie ma tu wzorów na pierwiastki. Standardowa metoda w takiej sytuacji to zapisanie \(W(x)\) jako SUMY WYRAŻEŃ NIEUJEMNYCH (najczęściej kwadratów) i pokazanie, że nie mogą one zerować się jednocześnie — wtedy suma jest zawsze dodatnia. **Krok \(2\).** Szukamy pełnego kwadratu w początkowych wyrazach. Zauważamy, że \[x^4-2x^3+x^2=x^2\left(x^2-2x+1\right)=x^2(x-1)^2=\left(x^2-x\right)^2.\] Aby taki fragment wydzielić, rozbijamy \(2x^2\) na \(x^2+x^2\). **Krok \(3\).** Zapisujemy: \[W(x)=\underbrace{\left(x^4-2x^3+x^2\right)}_{=\,x^2(x-1)^2}+\underbrace{\left(x^2-6x+9\right)}_{=\,(x-3)^2}.\] **Krok \(4\).** Otrzymujemy więc rozkład \[W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy poprawność przez rozwinięcie: \(x^2(x-1)^2=x^4-2x^3+x^2\) oraz \((x-3)^2=x^2-6x+9\); po dodaniu \[x^4-2x^3+x^2+x^2-6x+9=x^4-2x^3+2x^2-6x+9,\] czyli dokładnie \(W(x)\). **Krok \(6\).** Oba składniki są nieujemne: \(x^2(x-1)^2=\left[x(x-1)\right]^2\geqslant0\) oraz \((x-3)^2\geqslant0\) jako kwadraty liczb rzeczywistych. Sprawdzamy, kiedy się zerują: \[x^2(x-1)^2=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=1,\qquad (x-3)^2=0\iff x=3.\] Nie ma liczby, która należałaby jednocześnie do obu tych zbiorów. **Krok \(7\).** Wniosek: dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) co najmniej jeden ze składników jest dodatni, a drugi nieujemny, więc ich suma jest dodatnia: \[W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\gt0\quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R}.\] W szczególności \(W(x)\neq0\), czyli wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych. To kończy dowód. **Uwaga.** Nie wystarczy stwierdzić, że suma kwadratów jest NIEUJEMNA — to dopuszczałoby \(W(x)=0\), a właśnie tego mamy dowieść, że nie zachodzi. Konieczny jest krok \(6\): pokazanie, że oba składniki nie zerują się dla tego samego \(x\). Rozbicie \(2x^2=x^2+x^2\) jest tu kluczowym pomysłem — trzeba „pożyczyć” jeden \(x^2\) do pierwszej grupy, a drugi zostawić do zbudowania \((x-3)^2\). **Odpowiedź.** Teza wynika z zapisu \(W(x)=x^2(x-1)^2+(x-3)^2\), czyli sumy dwóch składników nieujemnych, które nie zerują się jednocześnie, więc \(W(x)\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci: \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}+x^{2}-6x+9\). **6.2. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych: np. \(W(x)=x^{2}(x-1)^{2}+(x-3)^{2}\) lub \(W(x)=\left(x^{2}-x\right)^{2}+(x-3)^{2}\). **6.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być jednocześnie równe \(0\), więc wielomian \(W(x)\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. **II metoda rozwiązania:** **6.1. (1 pkt)** – obliczenie pochodnej wielomianu \(W(x)\) i jej miejsca zerowego: \(W'(x)=2(2x-3)\left(x^{2}+1\right)\), \(x=\frac{3}{2}\). **6.2. (1 pkt)** – uzasadnienie, że w punkcie \(x=\frac{3}{2}\) wielomian \(W(x)\) osiąga lokalne minimum. **6.3. (1 pkt)** – obliczenie wartości wielomianu \(W(x)\) dla \(x=\frac{3}{2}\) albo jej oszacowanie z dołu przez liczbę dodatnią i uzasadnienie, że wielomian \(W(x)\) nie ma pierwiastków rzeczywistych: \(W\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{45}{16}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.