Liczby rzeczywiste
Zadanie 7, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \(f(x)=\sin^{2}x+\cos x\) dla \(x\in\mathbb{R}\).
a) Rozwiąż równanie \(f(x)=1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).
b) Wyznacz największą wartość funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\).
b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy \(f\) wyłącznie przez \(\cos x\):
\[f(x)=\sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x.\]
**a)** Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać
\[1-\cos^2x+\cos x=1,\qquad -\cos^2x+\cos x=0,\qquad \cos x\,(1-\cos x)=0.\]
Stąd \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy
\[x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=0,\quad x=2\pi.\]
**b)** Podstawiamy \(t=\cos x\); zbiorem wartości cosinusa jest przedział \([-1,1]\), więc szukamy największej wartości funkcji kwadratowej
\[g(t)=-t^2+t+1\qquad\text{dla }t\in[-1,1].\]
Współczynnik przy \(t^2\) jest ujemny, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi
\[t_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12\in[-1,1],\]
więc wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku:
\[g\!\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54.\]
**Odpowiedź.** a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**7.1. (1 pkt)** – zapisanie równania \(f(x)=1\) w postaci: \(-\cos^{2}x+\cos x=0\).
**7.2. (1 pkt)** – zapisanie równań: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\).
**7.3. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(f(x)=1\) należących do przedziału \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=0\vee x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}\vee x=2\pi\).
**7.4. (1 pkt)** – przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie pomocniczej niewiadomej \(t=\cos x\) i \(t\in\langle -1,\,1\rangle\) i zapisanie funkcji \(f(t)=-t^{2}+t+1\) dla \(t\in\langle -1,\,1\rangle\).
Punkt otrzymuje też zdający, który pominął dziedzinę funkcji \(f\).
**7.5. (1 pkt)** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego \(f(t)=-t^{2}+t+1\): \(t_{w}=\frac{1}{2}\).
Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci kanonicznej: \(f(t)=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\).
**7.6. (1 pkt)** – uwzględnienie faktu, że \(\frac{1}{2}\in\langle -1,\,1\rangle\) i współczynnik przy \(t^{2}\) jest ujemny, i obliczenie największej wartości funkcji \(f\): \(f_{\max}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\).
Zdający nie musi analizować znaku współczynnika przy \(t^{2}\), o ile oblicza \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) i wybiera największą z nich.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
