Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 1, maj 2025, poziom rozszerzony
Suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(W(x)=x^{3}+5x^{2}-7x-11\) jest równa
**A.** \(-5\)
**B.** \(-3\)
**C.** \(3\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
**A.** \(-5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla wielomianu \(x^{3}+ax^{2}+bx+c\) suma wszystkich jego pierwiastków jest równa \(-a\) (wzory Viète'a).
Tutaj \(a=5\), więc suma pierwiastków wynosi \(-5\).
Wielomian rzeczywiście ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \(W(-1)=-1+5+7-11=0\), a po podzieleniu
\[W(x)=(x+1)\left(x^{2}+4x-11\right),\]
przy czym \(\Delta=16+44=60>0\). Pierwiastkami są \(-1\) oraz \(-2\pm\sqrt{15}\), a ich suma to \(-1-4=-5\).
**Odpowiedź.** A
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.5R) Zdający stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
