Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 1, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wielomian \(W\) jest określony wzorem
\[W(x)=(2\sqrt{3}x-x^{2}+1)^{2}.\]
We wzorze ogólnym tego wielomianu \(W(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\) współczynnik \(c\) jest równy
**A.** \(-1\)
**B.** \(10\)
**C.** \(12\)
**D.** \(14\)
Odpowiedź
**B.** \(c=10\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadrat sumy trzech składników \(a=2\sqrt3x\), \(b=-x^{2}\), \(c=1\):
\[\left(2\sqrt3x-x^{2}+1\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc.\]
Wyrazy stopnia drugiego powstają z \(a^{2}\) oraz z \(2bc\):
\[a^{2}=12x^{2},\qquad 2bc=2\cdot\left(-x^{2}\right)\cdot1=-2x^{2}.\]
Zatem współczynnik przy \(x^{2}\) wynosi \(12-2=10\).
**Odpowiedź.** B
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej1
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
2.4R) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.
