Potęgi i pierwiastki
Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest wielomian
\[W(x)=3x^3+mx^2+3x-2,\]
gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej
\[W(x)=(x+2)Q(x),\]
gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym.
**Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).**
Odpowiedź
\[Q(x)=3x^2+2x-1,\qquad x\in\left\{-2,-1,\frac13\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(x+2\) jest czynnikiem \(W(x)\), mamy \(W(-2)=0\):
\[3(-2)^3+m(-2)^2+3(-2)-2=0,\]
\[-32+4m=0,\qquad m=8.\]
Dzieląc \(3x^3+8x^2+3x-2\) przez \(x+2\), otrzymujemy
\[Q(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).\]
Stąd
\[W(x)=(x+2)(3x-1)(x+1),\]
a jego pierwiastki to \(x=-2\), \(x=-1\) i \(x=\frac13\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia \(Q(x)\), postać \(Q(x)=3x^2+2x-1\) i wszystkie pierwiastki \(W\): \(-2,-1,\frac13\)
**2 pkt** – poprawna metoda i prawidłowa postać \(Q(x)\), albo konsekwentna metoda wyznaczenia pierwiastków po błędzie rachunkowym w \(Q\)
**1 pkt** – zapisanie \(W(-2)=0\) i obliczenie \(m=8\), albo rozpoczęcie porównywania współczynników w tożsamości \(3x^3+mx^2+3x-2=(x+2)(ax^2+bx+c)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i I operowanie wielomianami i sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.6 i III.6 dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\) oraz rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.
