Liczby rzeczywiste
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\).
**Udowodnij, że liczba \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).**
Odpowiedź
Dla opisanych liczb \(a\) i \(b\) suma \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dwie kolejne liczby naturalne niepodzielne przez \(3\) mają postać \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\). Wtedy
\[a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\]
\[=54k^3+81k^2+45k+9=9(6k^3+9k^2+5k+1).\]
Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc \(9\mid(a^3+b^3)\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód zakończony postacią \(9(6k^3+9k^2+5k+1)\) i uzasadnieniem całkowitości drugiego czynnika
**2 pkt** – zapisanie \(a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\) i poprawne rozwinięcie do \(54k^3+81k^2+45k+9\)
**1 pkt** – zapisanie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 przeprowadzanie kilkuetapowych rozumowań.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 i II.1 dowody dotyczące podzielności oraz stosowanie wzoru na sześcian sumy.
