Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wielomian
\[W(x)=x^4+2x^3-5x^2-6px+9\]
jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Oblicz \(p\). Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[p=\frac76=1{,}1666\ldots\] Należy zakodować cyfry \(1,6,6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie wynika, że podzielność przez \(x-1\) jest równoważna warunkowi \(W(1)=0\). Mamy
\[W(1)=1+2-5-6p+9=7-6p.\]
Stąd \(7-6p=0\), więc \(p=\frac76=1{,}1666\ldots\). Kodujemy cyfry rozwinięcia otrzymanego wyniku, bez zaokrąglania: \(166\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna wartość \(p=\frac76\) i kod \(166\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie warunku \(W(1)=0\) i równania \(7-6p=0\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
3.4. R. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).
