Inne zagadnienia
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba
\[k(k+1)(k+9)(k^2+1)\]
jest podzielna przez \(5\).
Odpowiedź
Dla każdego \(k\in\mathbb Z\) iloczyn \(k(k+1)(k+9)(k^2+1)\) jest podzielny przez \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpatrujemy pięć możliwych reszt z dzielenia \(k\) przez \(5\). Jeśli \(k\equiv0\pmod5\), podzielny przez \(5\) jest czynnik \(k\). Dla \(k\equiv1\pmod5\) podzielny jest \(k+9\). Dla \(k\equiv2\pmod5\) oraz \(k\equiv3\pmod5\) mamy \(k^2+1\equiv4+1\equiv0\pmod5\). Dla \(k\equiv4\pmod5\) podzielny jest \(k+1\). W każdym przypadku co najmniej jeden czynnik iloczynu jest wielokrotnością \(5\), co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny dowód obejmujący wszystkie pięć klas reszt
**2 pkt** – poprawna idea rozpatrywania reszt i większość przypadków
**1 pkt** – zauważenie potrzeby rozpatrzenia \(k\bmod5\) lub poprawne sprawdzenie co najmniej dwóch nietrywialnych przypadków
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
2.7. (szkoła podstawowa) Zdający rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez \(5\).
