Równania i nierówności
Zadanie 4, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Równanie \(x^2+48x+2=0\) ma dwa rozwiązania \(x_1,x_2\). Liczba
\[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}\]
jest liczbą całkowitą dodatnią. Znajdź tę liczbę. Zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[575.\] Należy zakodować cyfry \(5,7,5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=-48,\qquad x_1x_2=2.\]
Zatem
\[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(-48)^2-2\cdot2}{2^2}=575.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(575\) i kod \(575\)
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów Viète'a i przekształcenie wyrażenia
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
3.1. R. Zdający stosuje wzory Viète'a.
