Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, sierpień 2013, poziom podstawowy
Dla każdych liczb rzeczywistych \(a,b\) wyrażenie \(a-b+ab-1\) jest równe
**A.** \((a+1)(b-1)\)
**B.** \((1-b)(1+a)\)
**C.** \((a-1)(b+1)\)
**D.** \((a+b)(1+a)\)
Odpowiedź
**C.** \((a-1)(b+1)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są iloczynami dwóch nawiasów, więc wyrażenie \(a-b+ab-1\) trzeba rozłożyć na czynniki. Metoda, która tu działa, to grupowanie wyrazów: łączymy je w pary tak, aby w każdej parze dało się wyłączyć wspólny czynnik.
**Krok \(2\).** Przestawiamy wyrazy tak, by w parach pojawiły się wspólne czynniki:
\[a-b+ab-1=(a-1)+(ab-b).\]
**Krok \(3\).** Z drugiej pary wyłączamy \(b\) przed nawias:
\[ab-b=b(a-1).\]
**Krok \(4\).** Teraz obie części mają ten sam nawias \((a-1)\), więc wyłączamy go:
\[(a-1)+b(a-1)=(a-1)(1+b)=(a-1)(b+1).\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy na konkretnych liczbach, na przykład \(a=2\) i \(b=3\). Wyrażenie wyjściowe daje \(2-3+2\cdot3-1=4\), a otrzymany iloczyn \((2-1)(3+1)=4\). Wyniki są zgodne.
**Uwaga.** Tym samym podstawieniem odrzucamy pozostałe warianty: A daje \(3\cdot2=6\), B daje \((-2)\cdot3=-6\), D daje \(5\cdot3=15\), a żadna z tych liczb nie jest równa \(4\).
**Odpowiedź.** C, czyli \((a-1)(b+1)\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
*Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
