Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 10, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Reszty z dzielenia wielomianu
\[W(x)=x^4+bx^3+cx^2\]
przez dwumiany \(x-2\) i \(x-3\) są odpowiednio równe \(-8\) oraz \(-18\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \(x-4\).
Odpowiedź
Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa \(0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie:
\[W(2)=-8,\qquad W(3)=-18.\]
Po podstawieniu do wzoru wielomianu otrzymujemy układ
\[\begin{cases}16+8b+4c=-8,\\81+27b+9c=-18.\end{cases}\]
Po uproszczeniu:
\[\begin{cases}2b+c=-6,\\3b+c=-11.\end{cases}\]
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(b=-5\), a następnie \(c=4\). Zatem
\[W(x)=x^4-5x^3+4x^2.\]
Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa
\[W(4)=4^4-5\cdot4^3+4\cdot4^2=256-320+64=0.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie reszty \(W(4)=0\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(b=-5\) i \(c=4\) albo rozkładu \(x^2+bx+c+2=(x-2)(x-3)\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego układu dwóch równań dla \(b\) i \(c\)
**1 pkt** – zapisanie \(W(2)=-8\) i \(W(3)=-18\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).
