Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 9, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(R=5\sqrt2\). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\). Kąty wewnętrzne \(BAD\) i \(ADC\) czworokąta \(ABCD\) są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy \(\frac38\). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.
Odpowiedź
\[|\angle BAD|=45^\circ,\quad|\angle ABC|=120^\circ,\quad|\angle BCD|=135^\circ,\quad|\angle CDA|=60^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy kolejno kąty wewnętrzne przy wierzchołkach \(A,B,C,D\) przez \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(ABD\):
\[\frac{|BD|}{\sin\alpha}=2R.\]
Stąd
\[\sin\alpha=\frac{10}{10\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\alpha=45^\circ\). W czworokącie wpisanym kąty przeciwległe są dopełniające do \(180^\circ\), zatem
\[\gamma=180^\circ-45^\circ=135^\circ,\qquad\beta=180^\circ-\delta.\]
Warunek o iloczynie sinusów daje
\[\sin45^\circ\sin\beta\sin135^\circ\sin\delta=\frac38.\]
Ponieważ \(\sin\beta=\sin(180^\circ-\delta)=\sin\delta\), otrzymujemy
\[\frac12\sin^2\delta=\frac38,\qquad\sin\delta=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Kąt \(\delta\) jest ostry, więc \(\delta=60^\circ\), a \(\beta=120^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne obliczenie wszystkich kątów: \(45^\circ,120^\circ,135^\circ,60^\circ\)
**3 pkt** – zapisanie równania \(\frac12\sin^2\delta=\frac38\) lub równoważnego równania dla \(\beta\)
**2 pkt** – obliczenie \(\alpha=45^\circ\) i \(\gamma=135^\circ\)
**1 pkt** – zapisanie zależności z twierdzenia sinusów \(\frac{|BD|}{\sin\alpha}=2R\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.1 i R7.5 stosowanie własności czworokąta wpisanego oraz twierdzenia sinusów.
