Funkcje
Zadanie 11, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(4\), a wysokość graniastosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(AFB\).
Odpowiedź
\[\sin|\angle AFB|=\frac{4\sqrt3}{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(AFB\) jest równoramienny. Krawędzie \(AF\) i \(BF\) są przekątnymi prostokątów o bokach \(4\) i \(6\), więc
\[|AF|=|BF|=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}.\]
W trójkącie \(AFB\), dla \(\alpha=|\angle AFB|\), z twierdzenia cosinusów:
\[|AB|^2=|AF|^2+|BF|^2-2|AF||BF|\cos\alpha.\]
Zatem
\[16=52+52-104\cos\alpha,\qquad\cos\alpha=\frac{11}{13}.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{121}{169}}=\frac{4\sqrt3}{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne obliczenie \(\sin|\angle AFB|=\frac{4\sqrt3}{13}\)
**3 pkt** – obliczenie \(\cos|\angle AFB|=\frac{11}{13}\) albo pola \(P_{AFB}=8\sqrt3\)
**2 pkt** – zapisanie poprawnego równania z twierdzenia cosinusów albo wzoru na pole z sinusem kąta \(AFB\)
**1 pkt** – obliczenie \(|AF|=2\sqrt{13}\) albo innego istotnego odcinka prowadzącego do rozwiązania
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.4 korzystanie z własności funkcji trygonometrycznych w obliczeniach geometrycznych.
