Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, maj 2023, poziom rozszerzony
Wielomian \(W(x)=7x^3-9x^2+9x-2\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek.
W poniższe kratki wpisz kolejno, od lewej do prawej, pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
Jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=\tfrac27\); w kratki należy wpisać \(2\), \(8\), \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych każdy pierwiastek wymierny \(\tfrac pq\) (ułamek nieskracalny) spełnia: \(p\) dzieli wyraz wolny \(-2\), a \(q\) dzieli współczynnik wiodący \(7\).
Kandydatami są więc \(\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac17,\ \pm\tfrac27\). Sprawdzamy \(x=\tfrac27\):
\[7\cdot\frac{8}{343}-9\cdot\frac{4}{49}+9\cdot\frac27-2=\frac{8}{49}-\frac{36}{49}+\frac{126}{49}-\frac{98}{49}=0.\]
Zatem \(x=\tfrac27\) jest pierwiastkiem i \(7x-2\) dzieli wielomian:
\[7x^{3}-9x^{2}+9x-2=(7x-2)\left(x^{2}-x+1\right).\]
Trójmian \(x^{2}-x+1\) ma wyróżnik \(1-4=-3<0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych — potwierdza to, że \(\tfrac27\) jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym.
Rozwinięcie dziesiętne wyniku jest okresowe:
\[\frac27=0{,}(285714),\]
więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(2\), \(8\), \(5\).
**Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(2\), \(8\), \(5\).
Klucz i zasady oceniania
2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.5) Zdający stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
