Zadanie 6 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

Nierówność jest równoważna \((x-y)(x^2-y^2)\leq0\), czyli \((x+y)(x-y)^2\leq0\). Ponieważ \(x+y=4\), mamy \(4(x-y)^2\leq0\), zatem \(x=y\). Stąd \(x=y=2\).

Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ x + y = \(4\), więc y = \(4\) − x. Ponieważ ponadto x i y spełniają nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\), więc otrzymujemy \(x^{3}\) − \(x^{2}\)(\(4\) − x) ≤ x(\(4\) − x)\(2\) − (\(4\) − x)\(3\) Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ x(\(16\) − \(8x\) + \(x^{2}\)) − (\(64\) − \(48x\) + \(12x2\) − \(x^{3}\)) Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno \(x^{3}\) − \(4x2\) + \(x^{3}\) ≤ \(16x\) − \(8x2\) + \(x^{3}\) − \(64\) + \(48x\) − \(12x2\) + \(x^{3}\) \(16x2\) − \(64x\) + \(64 \leq 0\) (\(4x\) − \(8\))\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym rozwiązaniem tej nierówności jest x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać. Sposób II Przekształcamy nierówność \(x^{3}\) − \(x2y\) ≤ \(xy2\) − \(y^{3}\) kolejno do postaci \(x^{3}\) − \(x2y\) − \(xy2\) + \(y^{3}\) ≤ \(0\) (x − y)(\(x^{2}\) − \(y^{2}\)) ≤ \(0\) (x + y)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ x + y = \(4\), więc otrzymujemy \(4\)(x − y)\(2 \leq 0\) Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić (x − y)\(2 = 0\) Stąd x − y = \(0\), czyli x = y. Zatem \(2x\) = \(4\), czyli x = \(2\). Ponieważ y = \(4\) − x, więc y = \(2\). To należało wykazać.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb \(x\) i \(y\) (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: \(x\), \(y\), jest równa \(2\)) oraz obliczenie tych liczb: \(x=2\) oraz \(y=2\). **2 pkt** – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\)) w postaci \(ax^{2}+bx+c\ge 0\) lub \(ax^{2}+bx+c\le 0\), np. \(16x^{2}-64x+64\le 0\) ALBO – wykorzystanie założenia \(x+y=4\) i zapisanie nierówności w postaci \(4(x-y)^{2}\le 0\) (lub \(4(4-2y)^{2}\le 0\), lub \(4(2x-4)^{2}\le 0\)), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\le 0\) oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu \((x-y)^{2}\cdot(x+y)\), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. **1 pkt** – wykorzystanie zależności \(x+y=4\) i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. \(x^{3}-x^{2}(4-x)\le x(4-x)^{2}-(4-x)^{3}\) ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \((x-y)(x^{2}-y^{2})\le 0\), ALBO – przekształcenie nierówności \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) do postaci \(x\cdot y\ge 4\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający podstawia do związków \(x+y=4\) oraz \(x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}\) konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^3\) oraz \(a^3\pm b^3\).