Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 4, maj 2023, poziom rozszerzony
Dany jest zbiór trzynastu liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\), z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest
**A.** \(\binom{7}{2}+49\)
**B.** \(\binom{6}{1}\cdot\binom{7}{1}+49\)
**C.** \(\binom{13}{2}-\binom{7}{2}\)
**D.** \(\binom{13}{2}-\binom{6}{2}\)
Odpowiedź
**C.** \(\displaystyle \binom{13}{2}-\binom{7}{2}=57\). Od liczby wszystkich par odejmujemy pary złożone z dwóch liczb nieparzystych.
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy jednocześnie dwie liczby, więc kolejność nie ma znaczenia — liczymy dwuelementowe podzbiory. Wszystkich sposobów jest
\[\binom{13}{2}.\]
Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest parzysty dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest parzysta. Wygodniej policzyć dopełnienie: iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.
W zbiorze \(\{1,2,\ldots,13\}\) liczb nieparzystych jest \(7\) (są to \(1,3,5,7,9,11,13\)), więc par o nieparzystym iloczynie jest \(\binom{7}{2}\).
Stąd szukana liczba sposobów wynosi
\[\binom{13}{2}-\binom{7}{2}=78-21=57.\]
**Odpowiedź.** C. \(\binom{13}{2}-\binom{7}{2}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
R10.1) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.
