Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 9, maj 2022, poziom rozszerzony
Reszta z dzielenia wielomianu
\[W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\]
przez dwumian \(x+2\) jest równa \((-30)\). **Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność**
\[W(x)\geq0.\]
Odpowiedź
\[m=3,\qquad x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie
\[W(-2)=-30.\]
Po podstawieniu otrzymujemy
\[-32-24+2(5m+1)-2m=-30,\]
czyli \(8m-54=-30\), a stąd \(m=3\). Dla tej wartości
\[W(x)=4x^3-6x^2-16x-6=4(x+1)\left(x+\frac12\right)(x-3).\]
Miejsca zerowe to \(-1\), \(-\frac12\) i \(3\). Z analizy znaków iloczynu
\[W(x)\geq0\iff x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=3\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m\), rozkład wielomianu i drobna usterka w zapisie zbioru
**2 pkt** – wyznaczenie \(m=3\) oraz co najmniej jednego istotnego kroku rozwiązania nierówności
**1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie albo poprawny rozkład wielomianu dla \(m=3\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.4 i R3.6 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian oraz rozwiązywanie nierówności wielomianowych.
