Ciąg arytmetyczny
Zadanie 10, maj 2022, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto
\[a_1=675\qquad\text{i}\qquad a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}.\]
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). **Oblicz \(b_1\).**
Odpowiedź
\[b_1=129.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(q\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(a_{21}\ne0\) i po podzieleniu warunku \(a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}\) przez \(a_{21}\) otrzymujemy
\[q=\frac54q^{2}+\frac15,\qquad 25q^{2}-20q+4=0,\qquad (5q-2)^{2}=0,\qquad q=\frac25.\]
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) istnieje, bo \(|q|=\frac25<1\) — ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru \(S=\frac{a_1}{1-q}\):
\[S=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.\]
Ponadto
\[a_3=675\left(\frac25\right)^{2}=675\cdot\frac4{25}=108=b_4.\]
Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \((b_n)\). Z dwóch warunków otrzymujemy układ:
\[b_1+3r=108,\qquad S_{25}=\frac{(2b_1+24r)\cdot25}{2}=25(b_1+12r)=1125,\]
czyli \(b_1+12r=45\). Odejmując równania stronami, dostajemy \(9r=45-108=-63\), więc \(r=-7\), a stąd
\[b_1=108-3\cdot(-7)=129.\]
**Odpowiedź.** \(b_1=129\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(b_1=129\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(q=\frac25\), sumy \(1125\) i zależności dla ciągu arytmetycznego
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu oraz sumy szeregu geometrycznego
**1 pkt** – poprawne ułożenie równania dla ilorazu \(q\)
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
P5.3 i R5.2 stosowanie wzorów na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy zbieżnego szeregu geometrycznego.
