Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 8, maj 2022, poziom rozszerzony
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o \(3\) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). **Wykaż, że spełniony jest warunek**
\[|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt2}{3}\,|DP|\cdot|CP|.\]
Odpowiedź
\[|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt2}{3}|DP|\cdot|CP|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(APB\) i \(CPD\) są podobne. Oznaczmy promienie okręgów opisanych na tych trójkątach odpowiednio przez \(R_1\) i \(R_2\). Z podobieństwa oraz danych zadania
\[\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{R_1}{R_2},\qquad |AB|=|CD|+2,\qquad R_1=R_2+3.\]
Stąd
\[\frac{|CD|+2}{|CD|}=\frac{R_2+3}{R_2},\]
czyli \(2R_2=3|CD|\), a więc
\[|CD|=\frac23R_2.\]
Niech \(\alpha=\angle CPD\). Z twierdzenia sinusów
\[\frac{|CD|}{\sin\alpha}=2R_2,\]
zatem \(\sin\alpha=\frac13\). Trójkąt \(CPD\) jest ostrokątny, więc
\[\cos\alpha=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3}.\]
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(CPD\)
\[|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2|DP|\cdot|CP|\cos\alpha.\]
Po przekształceniu i podstawieniu wartości cosinusa otrzymujemy tezę.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego poprawnego dowodu
**2 pkt** – wyznaczenie \(\sin\alpha=\frac13\) albo równoważnie \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\)
**1 pkt** – poprawne powiązanie długości podstaw trapezu z promieniami okręgów na podstawie podobieństwa albo wskazanie warunku na cosinus równoważnego tezie
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.4 związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzeń sinusów i cosinusów.
