Zadanie 13 – matura z matematyki maj 2019, poziom rozszerzony

\[m=1,\qquad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

Z twierdzenia o reszcie i podzielności otrzymujemy \[W(2)=0\quad\Longrightarrow\quad4m^3-4m=0\] oraz \[W(-1)=6\quad\Longrightarrow\quad m^3-4m+3=0.\] Jedyną wartością spełniającą oba równania jest \(m=1\). Wtedy \[W(x)=2x^3+3x^2-11x-6=(x-2)(x+3)(2x+1).\] Miejsca zerowe to \(-3\), \(-\frac12\) i \(2\). Z tabeli znaków wielomianu trzeciego stopnia otrzymujemy \[W(x)\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

**6 pkt** – wyznaczenie \(m=1\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności **5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), rozkład wielomianu i rozwiązanie nierówności z jedną drobną usterką **4 pkt** – wykazanie, że jedyną dopuszczalną wartością jest \(m=1\) **3 pkt** – zapisanie obu równań wynikających z warunków \(W(2)=0\) i \(W(-1)=6\) oraz rozwiązanie jednego z nich albo rozpoczęcie eliminacji **2 pkt** – zapisanie obu równań dla parametru **1 pkt** – poprawne zapisanie jednego z tych równań. Po wyznaczeniu \(m=1\) **2 pkt** – za pełny zbiór rozwiązań nierówności albo **1 pkt** – za wyznaczenie jej trzech miejsc zerowych **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\). R3.7 rozwiązywanie nierówności wielomianowych.