Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, maj 2019, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\cos x\left[\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right]=\frac12\sin x.\]
Odpowiedź
\[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi3+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac\pi3+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów:
\[\sin\left(x-\frac\pi3\right)+\sin\left(x+\frac\pi3\right)=2\sin x\cos\frac\pi3=\sin x.\]
Równanie przyjmuje więc postać
\[\sin x\cos x=\frac12\sin x,\]
czyli
\[\sin x\left(\cos x-\frac12\right)=0.\]
Z pierwszego czynnika otrzymujemy \(x=k\pi\). Z drugiego: \(\cos x=\frac12\), a więc \(x=\frac\pi3+2k\pi\) lub \(x=-\frac\pi3+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – podanie wszystkich trzech rodzin rozwiązań
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z dwóch równań \(\sin x=0\), \(\cos x=\frac12\) i częściowe rozwiązanie drugiego
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin x(\cos x-\frac12)=0\)
**1 pkt** – poprawne przekształcenie sumy sinusów do \(\sin x\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5 stosowanie wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.
![Rozwiązanie zadania 14 (matura z matematyki maj 2019): Rozwiąż równanie cos x [sin (x-π/3 )+sin (x+π/3 ) ]=12sin x.](rozwiazanie.webp)
