Ciąg arytmetyczny
Zadanie 12, maj 2019, poziom rozszerzony
Dodatnie liczby \(a\), \(b\), \(c\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Liczby
\[\frac1a,\qquad \frac2{3b},\qquad \frac1{2a+2b+c}\]
tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
Iloraz ciągu geometrycznego jest równy
\[q=\frac13.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem arytmetycznym, mamy \(c=2b-a\). Dla ciągu geometrycznego
\[q=\frac{\frac2{3b}}{\frac1a}=\frac{2a}{3b},\]
więc \(a=\frac32bq\). Z drugiej i trzeciej liczby tego ciągu otrzymujemy także
\[q=\frac{\frac1{2a+2b+c}}{\frac2{3b}}=\frac{3b}{2(2a+2b+c)}.\]
Po podstawieniu \(c=2b-a\) mianownik ma postać \(2a+2b+c=a+4b\), zatem
\[q=\frac{3b}{2(a+4b)}=\frac3{3q+8}.\]
Stąd
\[3q^2+8q-3=0,\qquad q\in\left\{\frac13,-3\right\}.\]
Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac13\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – obliczenie \(q=\frac13\) z odrzuceniem ujemnego pierwiastka
**5 pkt** – rozwiązanie równania \(3q^2+8q-3=0\) bez pełnego uzasadnienia wyboru dodatniego pierwiastka
**4 pkt** – doprowadzenie do równania \(3q^2+8q-3=0\)
**2: 3 pkt** – poprawne zapisanie zależności wynikających z arytmetyczności i geometryczności oraz częściowe ich połączenie
**1 pkt** – zapisanie jednej poprawnej zależności, np. \(c=2b-a\) albo \(q=\frac{2a}{3b}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz własności ciągu arytmetycznego.
5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz własności ciągu geometrycznego.
