Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, maj 2017, poziom rozszerzony
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+\frac{3}{4}\) przez dwumian x−\(2\) jest równa \(1\). Oblicz a. Wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego wyniku.
Odpowiedź
a=\(\frac{1}{8=0,125}\), więc należy wpisać cyfry \(1\), \(2\), \(5\). Z twierdzenia o reszcie W(\(2\))=\(1\), czyli \(8\)−\(8\)+\(2a\)+\(\frac{3}{4=1}\), skąd \(2a\)=\(\frac{1}{4}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(W(2)\). Warunek zadania daje więc
\[W(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+2a+\tfrac34=8-8+2a+\tfrac34=2a+\tfrac34=1.\]
Stąd
\[2a=\tfrac14,\qquad a=\tfrac18=0{,}125.\]
Rozwinięcie dziesiętne wyniku to \(0{,}125\), więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(1\), \(2\), \(5\).
**Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(1\), \(2\), \(5\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a (R3.4).
